Kuvitellaan tilanne, jossa olet joutunut keskelle tsaarinajan Venäjän maaseutua. Olet maatyöläinen ja osaat yhteenlaskua mutta et kertotaulua. Ja nyt pitäisi kertoa luvut 53 ja 74 eli laskea niiden tulo.

Miten toimit? No esimerkiksi näin:

Jaetaan
Kerrotaan
53
74
26
148
13
296
6
592
3
1184
1
2368
Tulos:

3922

Menetelmä edellyttää yksinkertaista jakolaskua, mutta siinäkin vain pieniä lukuja ja jakamista vain kahdella – jakolaskun voi silloin korvata yhteenlaskulla ja hyvillä arvauksilla.

Venäläisten talonpoikien kertolaskenta etenee näin:

  1. Kerrottavat luvut laitetaan ylimmäksi kahteen sarakkeeseen.
  2. Ensimmäinen luku jaetaan kahdella ja tulos sijoitetaan alemmalle riville. Jos jako ei mene tasan ja jäännökseksi jää ykkönen, jakojäännös unohdetaan ja riville merkitään vain tasan mennyt osamäärä.
  3. Toisessa sarakkeessa kerrotaan aina kahdella. Se ei edellytä varsinaisesti kertolaskua, sillä luvun a voi kertoa kahdella laskemalla yhteen a + a.
  4. Rivejä jatketaan niin kauan kunnes pienenevä sarake (tässä vasemmalla) saavuttaa arvon yksi.
  5. Sitten jokainen rivi, jossa vasemmassa (pienenevässä) sarakkeessa on parillinen luku, vedetään yli ja unohdetaan.
  6. Lopullinen summa saadaan laskemalla yhteen oikean sarakkeen rivit, joita ei ole vedetty yli.

Näppärää, eikö?

Pikakertaus: Hetkinen, miten se tavallinen kertolasku menee?

Useimmat meistä ovat kouluissa oppineet kertolaskun niin sanotulla allekkain-menetelmällä. Eli luvut 53 ja 74 kerrotaan näin:

   53
  •74
  212
+3710
 3922

Ensin siis kerrotaan 4 x 3 (=12) ja merkitään 12 ykkösten alle. Sitten kerrotaan 4 x 5 (=20) ja merkitään se kymmenten alle (ottaen mukaan lukuun myös ykkönen, joka oli jo edelliseltä kierrokselta kymmenten alla).

Sen jälkeen kerrotaan 7 x 3 (=21) ja merkitään se kymmenten alle. Sitten kerrotaan 7 x 5 (=35) ja merkitään se satojen alle (ottaen mukaan lukuun myös kakkonen, joka oli edelliseltä kierrokselta satojen alla).

Lopuksi kaksi alinta riviä lasketaan yhteen.

Tämä laskentatapa edellyttää, että osaa koko kertotaulun ulkoa, koska sitä tarvitaan laskuesimerkissä yhteensä neljä kertaa.

Jatkotaso:

Mihin menetelmä perustuu?

Sivustolla Mathforum.org asiaa on pohdittu tällä tavalla:

Jaetaan Kerrotaan
9 8
4 16
2 32
1 64
Tulos: 72

”Venäläiset talonpojat”, joiden nimiin laskentatapa on laitettu, vaikka jo muinaiset egyptiläiset käyttivät hyvin samantapaista menetelmää, laskivat ehkä pienillä kivillä.

Kun kiviä ryhmittelee jakamalla ja kertomalla kahdella, päädytään lopulta tilanteeseen, jossa ”pienenevä rivi” saa arvon yksi ja kaikki kivet ovat samalla rivillä. Tulo on siis 72.

Jos rivistöllä on parittomia lukuja, joista täytyy jättää pois arvo 1 eli seuraavan rivin jakojäännös, riviä EI vedetä yli loppusummasta, koska juuri sen rivin ”pikkukivet” on muistettava nyt lisätä mukaan.

Tilanteen voi piirtää äskeisen kuvasarjan luvuilla näin:

Mukana siis on pidettävä kahdeksan kiven ”erillisryhmää”, koska se jäi ensimmäisestä kierroksesta yli. Tällaisia erillisryhmiä eli ei-ylivedettyjä rivejä saattaa laskuun tulla useampia.

Sivustolla Virtualspecies.com esitetään selitykseen vielä mielenkiintoisempi puoli. Venäläiset talonpojat itse asiassa muuntavat luvut binäärimuotoon eli kaksikantaiseen 1:n ja 0:n lukujärjestelmään.

Sivusto käyttää tällaista esimerkkilaskelmaa:

Jaetaan Kerrotaan
25 37
12 74
6 148
3 296
1 592
Tulos: 925

Kun toinen tulontekijä eli 25 ilmaistaan binäärijärjestelmän lukuna, saadaan seuraava taulukko:

Luvun 2 potenssit 24 23 22 21 20
Kymmenjärjestelmän luku 16 8 (4) (2) 1
Binääriesitys 1 1 0 0 1

Taulukon alalaitaa lukemalla havaitsemme, että 25 on kaksikantalukuna 110012 eli ”sattumalta” sama lukusarja kuin maalaislaskennassa ylivedettyjen ja ei-ylivedettyjen rivien sarja ykkösinä ja nollina ilmaistuna:

Jaetaan Kerrotaan 2-kanta 10-kanta
25 37 1 x 20 1
12 74 0 x 21 0
6 148 0 x 22 0
3 296 1 x 23 8
1 592 1 x 24 16
Tulos: 925 110012 25

Kuten taulukosta näkee, jokainen ylivedetty rivi muodostaa binäärilukuun nollan ja jokainen ei-ylivedetty rivi muodostaa ykkösen. Se paljastaa, että ”venäläinen kertolasku” on itse asiassa nopea tapa muuttaa luvut binäärimuotoon, kertoa ne toisillaan ja palauttaa alkuperäiseen eli kymmenkantaiseen lukujärjestelmään.